「HDU 2021 Multi 9」[HDU 7073] Integers Have Friends 2.0

「题意」

给定一个由 $n$ 个不同正整数组成的数组 $a$,选择一个最长子序列 $a_{c_1},\cdots,a_{c_p}$,使得存在某个正整数 $m$,满足 $a_{c_1}\bmod m=a_{c_2}\bmod m\cdots=a_{c_p}\bmod m$。

$a_i\leq 4\times10^{12},\sum{n}\leq 10^6$

「链接」

7073

「分析」

成功被出题人带到CF1648B(同问题求最长子区间)的坑里去了,总想着要找到同余系的话就要满足任意两个数的差都有大于 $1$ 的公因数,于是就不停在想对这 $n^2$ 对差怎么搞。。。

实际上,答案一定大于 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$。因为当 $m$ 取 $2$ 时,奇数或偶数肯定有一个会超过一半。

那么,随机选择两个数 $a_x$ 和 $a_y$,他们有超过 $\frac{1}{4}$ 的概率同属于最大的同余系。若想找到与它同属一个同余系的其他数,只需要分别求出 $b_i=|a_i-a_x|$ ,然后判断 $b_i$ 是否存在大于 $1$ 的公因数即可。具体来说,就是对 $|a_x-a_y|$ 分解质因数,然后依次判断 $b_i$ 是否是该质因数的倍数。由于在 $a_i\leq 4\times10^{12}$ 的范围内至多出现 $11$ 个质因数,因此跑一次复杂度为 $O(11n\sqrt{a_i})$。

随机选择 $k$ 次 $(x,y)$,就有$1-\frac{1}{4^k}$ 的概率找到最大的同余系,取 $k=40$ 即可。

「参考代码」

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/*
* @date:2021-08-17 16:18:59
* @source:
*/
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef pair<int, int> pii;
typedef long long ll;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef vector<int> vi;
#define fir first
#define sec second
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define SZ(x) (int)x.size()
#define up(i, l, r) for (int i = l; i <= r; ++i)
#define dn(i, l, r) for (int i = l; i >= r; --i)
#define Trav(i, x) for (auto & i : x)
#define pb push_back
template<class T, class G> bool chkMax(T &x, G y) {
return y > x ? x = y, 1 : 0;
}
template<class T, class G> bool chkMin(T &x, G y) {
return y < x ? x = y, 1 : 0;
}

const int MAXN = 2e5 + 5;

int N;
ll v[MAXN];

const int PRIMERANGE = 2e6 + 5;

bitset<PRIMERANGE> isnPri;
vector<int> Prime;

void Euler(int n) {
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (!isnPri[i]) Prime.pb(i);
Trav(p, Prime) {
int x = p * i;
if (x > n) break;
isnPri[x] = 1;
if (i % p == 0) break;
}
}
}

vector<ll> divide(ll x) {
vector<ll> vs;
if (x < 0) x = -x;
Trav(p, Prime) {
if (p * p > x) break;
if (x % p == 0) {
vs.pb(p);
while (x % p == 0) x /= p;
}
}
if (x > 1) vs.pb(x);
return vs;
}

ll B[MAXN];

void solve() {
cin >> N;
for (int i = 0; i < N; ++i) {
cin >> v[i];
}
int ans = 1;
for (int i = 1; i <= 40; ++i) {
int a = rand() % N;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
B[j] = abs(v[a] - v[j]);
}
vector<ll> v1 = divide(B[a + rand() % (N - a)]);
Trav(x, v1) {
int num = 0;
for (int j = 0; j < N; ++j) {
if (B[j] % x == 0) ++num;
}
chkMax(ans, num);
}
}
cout << ans << endl;
}

int main() {
srand(19260817);
ios_base::sync_with_stdio(false);
cin.tie(NULL);
Euler(2e6);
int Case;
cin >> Case;
while (Case--) solve();
return 0;
}